Арифметические свойства производной.

Билет 1

Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.

Определение: Производной от функции в точке именуется предел, к которому стремится отношение ее приращения в этой точке к соответственному приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Т.е., если определена в , то

Аксиома: (нужное условие существования производной)

Если функция имеет конечную в точке , то непрерывна в Арифметические свойства производной. точке .

Подтверждение:

При ,

Как следует - непрерывна в точке .

Аксиома подтверждена.

Замечание: оборотное утверждение ошибочно, если функция непрерывна в точке , то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке.

Контрпример:

Утверждение: если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа Арифметические свойства производной. и слева.

Контрпример:

Билет 2Геометрический смысл производной.

Аксиома 1:

График функции имеет невертикальную касательную и тогда только тогда, когда существует конечное значение производной этой функции в данной точке.

A
B
C
Подтверждение:

Пусть существует значение f’( )-конечное, тогда

при

Секущая стремится к касательной.

=> ч.т.д.

Пусть существует невертикальная касательная => существует - конечный Арифметические свойства производной..

Секущая стремится к касательной.

=>

Аксиома подтверждена.

Производные простых функций.

1. ;

2.

3.


4.

(т.к. функция непрерывна)

Замечание: если функция имеет конечную производную в точке, то она непрерывна в этой точке (было подтверждено в Билете 1), но она может быть разрывной в хоть какой другой точке, не считая этой.

Пример:

, т.к.

- не производится Арифметические свойства производной. аспект Коши и в каждой точке функция разрывна.

Билет 3

Арифметические характеристики производной.

Пусть f = f(x) и g = g(x) – функции, имеющие конечные производные в точке x0, тогда справедливы равенства:

1.

2.

2.1. где k – константа

3.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.

2.

Заметим, что функция f , как имеющая производную, непрерывна, и поэтому при

3.

Точка перегиба. Достаточные условия. Общая аксиома о точках Арифметические свойства производной. перегиба и экстремума.

Определение. Точка именуется точкой перегиба, если в этой точке график перебегает через сторону касательной ( различные неровности слева и справа).

Замечание. Точка перегиба существует только если . Пример

Аксиома 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).

Если функция имеет непрерывной в точке , =0 и , то точка перегиба.

Подтверждение:В Арифметические свойства производной. данном случае: , (формула Тейлора) , либо .

В силу непрерывности в и того факта, что сохраняет символ в некой округи точки . С другой стороны, множитель меняет символ при переходе через , а совместно с ним и величина (равная превышению точки кривой над касательной в ) меняет символ при переходе через .

Аксиома подтверждена.

Аксиома 2 (Общая аксиома Арифметические свойства производной. о точках перегиба и экстремума.)

Пусть функция обладает последующими качествами:

непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена неровностью ввысь либо вниз зависимо от того, будет ли либо , а если четное, то есть точка перегиба кривой.

Подтверждение:

Разложим по формуле Тейлора:

такого же знака, что , , , если - четное Арифметические свойства производной. то

либо всегда, - не точка перегиба.

Если - нечетная

С одной стороны , с другой стороны - точка перегиба. - четное.

, - min

, - max

Билет 22


aromaticheskie-uglevodorodi.html
aromatizirovannie-laki-statya.html
aromorfozi-ideoadaptacii-obshaya-degeneraciya-doklad.html